Геометрия, планиметрия, математика Если в треугольнике АВС проведены высоты АА1 и ВВ1, а так же биссектрисы АА2 и ВВ2,и известно что центр вписанной окружности лежит на А1В1, то как доказать что центр описанной окружности лежит на А2В2?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на биссектрисе AA2, нам необходимо воспользоваться свойствами треугольников и центра вписанной окружности.

Обозначим середину отрезка АВ как М, а точку пересечения биссектрисы ВB2 и высоты АA1 как N.

Так как центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на отрезке A1B1, то точки A1 и B1, а также точки A и B, являются симметрично относительно центра вписанной окружности. Следовательно, М будет также являться серединой отрезка A1B1.

Из симметрии треугольника А1А2М следует, что MN перпендикулярен A1A2 и MN является высотой треугольника А1А2М. Точно так же, из симметрии треугольника В1В2М следует, что MN перпендикулярен B1B2 и MN является высотой треугольника В1В2М.

Таким образом, точка М будет являться ортоцентром треугольника А1А2В1В2, и центр описанной окружности будет лежать на прямой MN, которая является биссектрисой угла A2В2B1.

Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на биссектрисе А2В2.