Последовательности заданы формулами An=n^3-6 и Bn=3*n^2-8*n. Доказать что при любом n верно неравенство An>=Bn

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства неравенства An >= Bn для любого n, нужно сравнить значения An и Bn.

An = n^3 - 6
Bn = 3n^2 - 8n

Подставим выражения для An и Bn и сравним их:

n^3 - 6 >= 3n^2 - 8n

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

n^3 - 3n^2 + 8n - 6 >= 0

Факторизуем левую часть:

n^2(n - 3) + 2(4n - 3) >= 0

(n^2 + 2)(n - 3) >= 0

Теперь найдем все значения n, при которых эта неравенство выполнится. Для этого рассмотрим знак выражения (n^2 + 2) и (n - 3) на каждом интервале:

n^2 + 2 > 0 при любых значениях n
n - 3 > 0 при n > 3

Таким образом, неравенство An >= Bn верно для n > 3.

Таким образом, доказано неравенство: при любом n > 3 верно An >= Bn.