В треугольнике ABC AB=21−−√, BC=321−−√, В треугольнике ABC AB=21−−√, BC=321−−√, биссектриса внешнего угла при вершине B пересекает прямую AC в точке P, угол APB равен 30∘. Найдите BP.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка D - середина отрезка AC, тогда треугольник ABD - прямоугольный.

Обозначим BP = x, тогда AP = 2x (из треугольника ABD) и PC = 32−√ - 2x.

Из теоремы синусов в треугольнике APB:

sin(30∘) / x = sin(∠APB) / AB,

1/2x = sin(∠APB) / (21−√),

sin(∠APB) = √3(21−√) / 42.

Из теоремы синусов в треугольнике BPC:

sin(∠BPC) / x = sin(150∘) / PC,

√3(32−√ - 2x) / x = √3 / (32−√ - 2x),

√3(32−√ - 2x)^2 = x(32−√ - 2x).

Решив данное уравнение, найдем x = 9.

Ответ: BP = 9.