Найдите наименьший из коэффициентов a и b кубического многочлена x3+ax2+bx+3 имеющего три различных корня, два из которых являются корнями квадратного трехчлена x2+2x−1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем корни квадратного трехчлена x^2 + 2x - 1.
Для этого используем формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac.
В нашем случае a = 1, b = 2, c = -1.
D = 2^2 - 41(-1) = 4 + 4 = 8 > 0.
Таким образом, у квадратного трехчлена два действительных корня.

Теперь для кубического многочлена найдем значения a и b, учитывая условие, что у него три различных корня, два из которых совпадают с корнями квадратного трехчлена.

Поскольку два корня кубического многочлена совпадают с корнями квадратного трехчлена, то усмотрим корни ближе: -1 и 1. Произведение корней многочлена равно -3, получается, что третий корень равен 3. Таким образом, кубический многочлен имеет корни -1, 1 и 3.

Подставляем эти корни в многочлен x^3 + ax^2 + bx + 3 для нахождения коэффициентов a и b:
1) (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 3 = 0
-1 + a - b + 3 = 0
a - b + 2 = 0
2) (1)^3 + a(1)^2 + b(1) + 3 = 0
1 + a + b + 3 = 0
a + b + 4 = 0
3) (3)^3 + a(3)^2 + b(3) + 3 = 0
27 + 9a + 3b + 3 = 0
9a + 3b + 30 = 0
Решая систему уравнений, получим a = -4, b = 2.

Наименьший из коэффициентов a и b равен -4.