Исследовать функцию y=(x)2/2(x–1) методом дифференциального исчисления и построить её график Исследовать функцию y=(x)2/2(x–1) методом дифференциального исчисления и построить её график

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции y=(x^2)/(2(x–1)) методом дифференциального исчисления, сначала найдем производные функции.

Найдем производную функции y по x:
y' = [(2(x-1) x - x^2 2) / (2(x-1))^2] = [(2x - 2 - 2x) / (2x^2 - 4x + 2)] = (-2 / (2x^2 - 4x + 2)) = -1 / (x^2 - 2x + 1) = -1 / (x-1)^2

Найдем точки экстремума функции, приравняв производную к нулю:
-1 / (x-1)^2 = 0
x - 1 = 0
x = 1

Таким образом, точка экстремума функции находится в точке x=1.

Проведем исследование функции на участках между точками разрыва и точками экстремума.

Для этого вычислим вторую производную функции:
y'' = d/dx(-1 / (x-1)^2) = 2 / (x-1)^3

На интервале (-∞; 1) функция убывает, так как вторая производная отрицательна.В точке x=1 функция имеет локальный максимум, так как в данной точке производная обращается в нуль.На интервале (1; +∞) функция возрастает, так как вторая производная положительна.

Построим график функции y=(x^2)/(2(x–1)):

На графике видно, что функция имеет локальный максимум в точке x=1.