Найти предел функции lim=(1+1/2+1/3+...+1/2^n)/(1+1/3+1/9+...+1/3^n) n стремится к бесконечности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим данную функцию как f(n):

f(n) = (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/2^n) / (1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3^n)

Заметим, что числитель и знаменатель суть суммы геометрических прогрессий.

Числитель:

1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/2^n = 1 + (1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/2^n)
< 1 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^(n-1)
= 2 - 1/2^(n-1)
< 2

Знаменатель:

1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3^n = 1 + (1/3 + 1/9 + 1/27 + ... + 1/3^n)
< 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... + 1/(3^(n-1))
= 1 + (1/3)^1 + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)
= (1- (1/3)^n) / (1 - 1/3)
= (3/2)((1 - (1/3)^n))
= (3/2)(1 - 1/3^n)
< 3/2

Таким образом, мы имеем:

0 < f(n) < 2 / (3/2) = 4/3

Таким образом, предел функции f(n) при n стремящемся к бесконечности будет лежать между 0 и 4/3.

Поэтому lim f(n), при n стремящемся к бесконечности, равен 0.