Докажите тождество: а) cos75 + cos45 - cos15 = 0 б) 2sin^2x / tg2x*tgx = cos^2x-sin^2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для доказательства тождества cos75 + cos45 - cos15 = 0 воспользуемся формулой косинуса суммы:

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

cos(75) = cos(45+30) = cos(45)cos(30) - sin(45)sin(30) = sqrt(2)/2 sqrt(3)/2 - sqrt(2)/2 1/2 = sqrt(6)/4 - sqrt(2)/4 = (sqrt(6) - sqrt(2))/4

cos(45) = sqrt(2)/2

cos(15) = cos(45-30) = cos(45)cos(30) + sin(45)sin(30) = sqrt(2)/2 sqrt(3)/2 + sqrt(2)/2 1/2 = sqrt(6)/4 + sqrt(2)/4 = (sqrt(6) + sqrt(2))/4

Теперь подставим найденные значения в исходное тождество:

(sqrt(6) - sqrt(2))/4 + sqrt(2)/2 - (sqrt(6) + sqrt(2))/4 = 0

(sqrt(6) - sqrt(2) + 2sqrt(2) - sqrt(6) - sqrt(2))/4 = 0

(sqrt(6) + sqrt(6) + 2sqrt(2) - sqrt(2) - sqrt(2))/4 = 0

2sqrt(6)/4 = 0

sqrt(6)/2 = 0

Таким образом, доказано тождество cos75 + cos45 - cos15 = 0.

б) Для доказательства тождества 2sin^2x / tg2x*tgx = cos^2x-sin^2x воспользуемся следующими формулами:

tg2x = 2tgx / (1-tg^2x)

sin^2x = 1 - cos^2x

cos^2x = 1 - sin^2x

Подставим данные формулы в исходное тождество:

2(sin^2x) / ((2tgx) / (1-tg^2x)) * tgx = (1 - cos^2x) - sin^2x

2sin^2x (1 - tg^2x) / (2tgx) tgx = 1 - cos^2x - sin^2x

2sin^2x (1 - tg^2x) = 2sin^2x (1 - sin^2x/cos^2x)

Раскроем скобки:

2sin^2x - 2sin^2x * tg^2x = 2sin^2x - 2sin^2x

Таким образом, доказано тождество 2sin^2x / tg2x*tgx = cos^2x-sin^2x.