Определить, при каких значений х три числа lg2, lg(3^x - 3) і lg(3^x + 9), взятые в заданной последовательности образуют арифметическую прогрессию.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы три числа lg2, lg(3^x - 3) і lg(3^x + 9) образовали арифметическую прогрессию, необходимо, чтобы их разности были одинаковы.

Пусть разность этих чисел равна d, тогда:
lg(3^x - 3) - lg2 = d
lg(3^x + 9) - lg(3^x - 3) = d

Преобразуем обе формулы:
lg(3^x - 3) = d + lg2
lg(3^x + 9) = d + lg(3^x - 3)

Теперь можем выразить 3^x из первого уравнения:
3^x - 3 = 10^(d + lg2)
3^x = 10^(d + lg2) + 3

Подставим это выражение во второе уравнение:
10^(d + lg2) + 3 + 9 = 10^(d + lg(3^x - 3))
10^(d + lg2) + 12 = 10^(d + lg(10^(d + lg2)) - 3)
10^(d + lg2) + 12 = 10^(d + 2 + d - 3)
10^(d + lg2) + 12 = 10^(2d - 1)

Теперь можно выразить d из этого уравнения:
d = (lg(10^(2d - 1)) - lg(10^(d + lg2) + 12)) / lg10
d = (2d - 1 - (d + lg2) - 12) / lg10
d = (d - 13 - lg2) / lg10
lg10d = d - 13 - lg2
9d = 13 - lg2
d = (13 - lg2) / 9

Таким образом, при х, при которых разность d равна (13 - lg2) / 9, три числа образуют арифметическую прогрессию.