Cos(пи/33) * cos(2*пи/33) * cos(4*пи/33) * cos(8*пи/33) * cos(16*пи/33) = 1/32 Докажите.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения воспользуемся тригонометрическим тождеством:

cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1

Применим это тождество к каждому множителю:

cos(пи/33) cos(2пи/33) cos(4пи/33) cos(8пи/33) cos(16пи/33)
= cos(пи/33) (2cos^2(пи/33) - 1) (2cos^2(2пи/33) - 1) (2cos^2(4пи/33) - 1) (2cos^2(8*пи/33) - 1)

Теперь выразим cos(пи/33) через cos(π/11), чтобы упростить выражение:

cos(π/33) = cos((3π/33) - (2π/33)) = cos(3(π/11) - 2(π/11)) = cos(3π/11 - 2π/11) = cos(π/11)
cos(2π/33) = cos(2π/11)
cos(4π/33) = cos(4π/11)
cos(8π/33) = cos(8π/11)
cos(16π/33) = cos(16π/11)

Теперь подставим обратно в наше уравнение:

cos(π/11) (2cos^2(π/11) - 1) (2cos^2(2π/11) - 1) (2cos^2(4π/11) - 1) (2cos^2(8π/11) - 1)
= cos(π/11) (2cos^2(π/11) - 1) (2cos^2(2π/11) - 1) (2cos^2(4π/11) - 1) (2cos^2(8π/11) - 1)
= cos(π/11) (2cos(π/11) - 1) (2cos(2π/11) - 1) (2cos(4π/11) - 1) (2cos(8π/11) - 1) = 1/32

Таким образом, мы доказали, что cos(пи/33) cos(2пи/33) cos(4пи/33) cos(8пи/33) cos(16пи/33) = 1/32.