Исследуйте функцию f(x)=x\2-x^4 на максимум и минимум

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения максимума и минимума функции f(x)=x^2-x^4 необходимо найти ее критические точки.

Сначала найдем производную функции:

f'(x) = 2x - 4x^3

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

2x - 4x^3 = 0
2x(1 - 2x^2) = 0
x(1 - 2x^2) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x=0 и x=1/√2.

Для проверки максимума и минимума посмотрим знаки производной f'(x) в окрестности найденных критических точек:

При x<0: f'(x) > 0, то есть функция f(x) возрастает до x=0.
При 0<x<1/√2: f'(x) < 0, то есть функция f(x) убывает до x=1/√2.
При x>1/√2: f'(x) > 0, то есть функция f(x) возрастает дальше.

Таким образом, x=0 является точкой максимума, а x=1/√2 - точкой минимума функции f(x)=x^2-x^4.

Максимум: f(0) = 0
Минимум: f(1/√2) = 1/4 - 1/4 = 0

Итак, функция f(x)=x^2-x^4 имеет максимум на точке (0,0) и минимум на точке (1/√2, 0).