24tg^2 x-9sin^2 x=2 Решите уравнение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем данное уравнение:

24tg^2 x - 9sin^2 x = 2

tg^2 x = sin^2 x / cos^2 x

Подставим это выражение в уравнение:

24(sin^2 x / cos^2 x) - 9sin^2 x = 2

Умножим все части уравнения на cos^2 x, чтобы избавиться от знаменателя:

24sin^2 x - 9sin^2 xcos^2 x = 2cos^2 x

Подставим sin^2 x = 1 - cos^2 x:

24(1 - cos^2 x) - 9(1 - cos^2 x)cos^2 x = 2cos^2 x

24 - 24cos^2 x - 9 + 9cos^2 x - 9cos^2 x + 9cos^4 x = 2cos^2 x

9cos^4 x - 42cos^2 x + 33 = 0

Данное уравнение является квадратным относительно cos^2 x. Решив его, найдем:

cos^2 x = 1, 1/3

Так как cos^2 x = cos^2 (π - x), то дополнительно к решениям cos^2 x = 1, 1/3 получаем cos^2 x = -2/3 и cos^2 x = 2/3.

Следовательно, получаем 4 корня для cos^2 x:

cos^2 x = 1: x = π/2 + kπ, где k - целое числоcos^2 x = 1/3: x = π/6 + kπ или 5π/6 + kπcos^2 x = -2/3: Данное уравнение не имеет решенияcos^2 x = 2/3: Данное уравнение не имеет решения

Итак, решения уравнения 24tg^2 x - 9sin^2 x = 2: x = π/2 + kπ, x = π/6 + kπ, x = 5π/6 + kπ, где k - целое число.