Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех ее членов, стоящих на нечетных местах, в 4 раза больше суммы всех ее членов, стоящих на четных местах, и сумма первых трех членов прогрессии равна 63.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через а первый член прогрессии, а через q - знаменатель прогрессии.

Тогда сумма всех членов прогрессии, стоящих на четных местах, равна:
a/(1-q) + aq^2/(1-q) + aq^4/(1-q) + ... = a/(1-q) (1 + q^2 + q^4 + ...) = a/(1-q) (1/(1-q^2)) = a/(1+q)

Сумма всех членов прогрессии, стоящих на нечетных местах, равна:
aq/(1-q) + aq^3/(1-q) + aq^5/(1-q) + ... = aq/(1-q) (1 + q^2 + q^4 + ...) = aq/(1-q) (1/(1-q^2)) = aq/(1+q)

Так как сумма членов, стоящих на нечетных местах, в 4 раза больше суммы членов, стоящих на четных местах, то имеем уравнение:
4aq/(1+q) = a/(1+q)
4q = 1
q = 1/4

Исходя из условия, сумма первых трех членов прогрессии равна 63:
a + a/4 + a/16 = 63
(16a + 4a + a) / 16 = 63
21a = 1008
a = 48

Таким образом, первый член прогрессии равен 48, а знаменатель q равен 1/4.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна:
S = a / (1 - q) = 48 / (1 - 1/4) = 48 / (3/4) = 64

Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 64.