1) В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Угол ACB=35 градусов, угор BAC=40 градусов. Найдите углы параллелограмма ABCD 2) В параллелограмме ABCD угол A = 60 градусов, высота BK делит сторону AD на две равные части. Найдите длину диагонали BD, если периметр параллелограмма равен 48 см. 3) периметр параллелограмма ABCD равен 10 см. Найдите длину диагонали BD, если периметр треугольника ABD равен 8 см. 4) периметр параллелограмма равен 90 см, его острый угор равен 60 градусов. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3 . Найдите стороны параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, можем найти углы параллелограмма ABCD
Угол BAD = 180 - 40 = 140 градусо
Угол BCD = 180 - 35 = 145 градусо
Угол CDA = 140 градусо
Угол DAB = 145 градусов

2) Поскольку высота BK делит сторону AD на две равные части, то примем длину AD за 2x. Тогда BK = x
Из угла A = 60 градусов следует, что угол B = 120 градусов
Из свойств параллелограмма BD = AC и AD = BC
Тогда, BC = BD = 2x
Периметр параллелограмма равен 48 см, значит
2(AD + BC) = 4
2(2x + 2x) = 4
4x + 4x = 4
8x = 4
x = 6 с
Таким образом, BD = 2x = 2 * 6 = 12 см.

3) Пусть в параллелограмме BD = 2x, так как BD = AC и AD = BC
Периметр параллелограмма равен 10 см
2(AD + BC) = 1
2(2x + 2x) = 1
4x =
x = 1.25 с
Аналогично предыдущему пункту, длина диагонали BD равна 2x
BD = 2 * 1.25 = 2.5 см.

4) Пусть стороны параллелограмма равны a и b
Так как острый угол равен 60 градусов, то тупой угол равен 120 градусов
По условию, диагональ параллелограмма делит тупой угол в отношении 1:3, значит
Треть тупого угла равно половине острого, то есть 60 градусов. Следовательно, треугольник ADB - равнобедренный
Из суммы углов треугольника следует, что угол ADB равен 120 градусов
По теореме косинусов найдем стороны параллелограмма
a^2 + b^2 - 2ab*cos(120) = BD^
a^2 + b^2 + ab = BD^
Также, периметр параллелограмма равен 90 см
2(a + b) = 9
a + b = 4
a = 45 -
Подставляем это в уравнение
(45 - b)^2 + b^2 + (45 - b)b = BD^
2025 - 90b + b^2 + b^2 - 45b + b^2 = BD^
3b^2 - 135b + 2025 = BD^
BD = 15 со сторонами a = 15 и b = 30.