Вычислить двойной интеграл,ограниченного заданными линиями: ∫ ∫ по области D int x dx dy, D: y=x+2, y=x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления данного двойного интеграла сначала найдем точки пересечения линий y=x+2 и y=x^2.

y=x+2
y=x^2

Подставим уравнение первой линии во второе:

x+2=x^2
x^2-x-2=0
(x-2)(x+1)=0

x=2, x=-1

Таким образом, область D ограничена точками (-1,1) и (2,4).

Интеграл будет иметь вид:

∫(x=-1→2) ∫(x+2→x^2) x dy dx

∫(x=-1→2) [∫(x+2→x^2) x dy] dx

∫(x=-1→2) [(xy)|_(x+2)^(x^2)] dx

∫(x=-1→2) [(x*x^2-x(x+2))] dx

∫(x=-1→2) [x^3-x^2-2x] dx

[1/4x^4-1/3x^3-2*x^2]|-1^2

[1/42^4-1/32^3-22^2]-[1/4(-1)^4-1/3(-1)^3-2(-1)^2]

[1/416-1/38-2*4]-[1/4-1/3+2]

[4-8-8]-[1/4-1/3+2]

-12-8-[1/4-1/3+2]

-20-1/12+8

-20-8+11/12

-28+11/12

Ответ: -325/12