Окружнность,вписанная в треугольник ABC,касантся стороны BC в точке D.Докажите.что если AD-медиана треугольника,тоAB=AC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение.

Пусть O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Так как AD - медиана, то точка D делит сторону BC пополам. Также, так как O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC, то радиус окружности равен расстоянию от точки O до стороны BC, то есть равен расстоянию до точки D.

Посмотрим на треугольник AOD. Так как AD - медиана, то точка D делит сторону AO в соотношении 2:1. Также, как мы уже установили, радиус окружности равен расстоянию до точки D. Значит, точка O также делит сторону AO в соотношении 2:1.

Таким образом, мы имеем, что AO = 2*OD. Теперь посмотрим на треугольник AOC. Так как O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC, то угол AOC является прямым. По теореме Пифагора для треугольника AOC получаем, что AC^2 = AO^2 + OC^2.

Заменяя AO на 2OD, получаем AC^2 = 4OD^2 + OC^2.

Теперь посмотрим на треугольник AOB. Также, как и ранее установили, угол AOB является прямым. По теореме Пифагора для треугольника AOB получаем, что AB^2 = AO^2 + OB^2.

Так как радиус окружности равен расстоянию до точки D, то OD = OB. Значит, AC^2 = 4OD^2 + OC^2 = 4OB^2 + OC^2 = AB^2. Значит, AB = AC.

Таким образом, если AD - медиана треугольника, то стороны AB и AC равны.