Решить тригонометрическое уравнение. Развернутое решение Cos^2 x + cos x - 2 = 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения уравнения ( \cos^2 x + \cos x - 2 = 0 ) можно воспользоваться методом замены переменной. Обозначим ( \cos x = t ), тогда уравнение примет вид:

( t^2 + t - 2 = 0 ).

Далее решим квадратное уравнение:

( t^2 + t - 2 = 0 ).

Для этого найдем дискриминант:

( D = 1 + 4 \cdot 2 = 9 ).

Так как дискриминант положительный, то у уравнения есть два корня:

( t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 ),

( t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 ).

Теперь заменим обратно переменную ( t ) на ( \cos x ):

( \cos x = 1 ) или ( \cos x = -2 ).

Так как косинус не может быть больше 1 или меньше -1, то решением уравнения является:

( \cos x = 1 ) или ( \cos x = -1 ).

Таким образом, уравнение имеет два решения: ( x = 0 + 2\pi k ) и ( x = 2\pi + 2\pi k ), где ( k ) - целое число.