[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3n^3 + 1} ]

Для исследования на сходимость данного ряда используем признак сравнения. Сначала проверим знак членов ряда:

[ \frac{n^2}{3n^3 + 1} > 0 ]

Теперь найдем предел отношения общего члена данного ряда к соответствующему члену гармонического ряда:

[ \lim{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{3n^3 + 1}}{\frac{1}{n}} = \lim{n \to \infty} \frac{n^3}{3n^3 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} = \frac{1}{3} ]

Так как полученный предел больше нуля и конечен, ряд сходится по признаку сравнения.

Итак, исследование показало, что ряд сходится.