Дан прямоугольный треугольник abc с прямым углом c. пусть bk-биссектриса этого треугольника. окружность, описанная около тругольника akb, пересекает вторично сторону bc в точке l. докажите, что cb+cl=ab

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольники ABC и AKB подобны (по признаку углов, так как у них равны углы BAC и BAK). Значит, AB/AC = AK/AB, откуда AB^2 = ACAK. Также из подобия ABC и AKB следует, что AC/AB = BC/BK, откуда ACAK = AB*BC.

Теперь обратимся к треугольнику BCL. Из того, что окружность, описанная вокруг треугольника AKB, пересекает вторично сторону BC в точке L, следует, что BLBC = BKBA (свойство окружности). Но так как BK - биссектриса треугольника ABC, то BK = AK, откуда BLBC = BAAK. Таким образом, BL = BA*AK/BC.

Теперь подставим это выражение в исходное равенство AB^2 = ACAK: AB^2 = ACAK = ACBAAK/BC. Разделим обе части на AB: AB = ACAK/BC. Так как ACAK = ABBC, имеем AB = ABBC/BC, то есть AB = AB.

Таким образом, доказано, что CB+CL=AB.