4a^2b^2(a^2+b^2)-(a^2+b^2)^3=(b^2-a^2)(a^2-b^2)(a^2+b^2) докажите тождество

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем скобки в левой части уравнения:

4a^2b^2(a^2+b^2) - (a^2 + b^2)^3 = 4a^2b^2(a^2+b^2) - (a^2 + b^2)(a^2 + b^2)(a^2 + b^2)
= 4a^4b^2 + 4a^2b^4 - (a^4 + 2a^2b^2 + b^4)(a^2 + b^2)
= 4a^4b^2 + 4a^2b^4 - a^6 - a^4b^2 - 2a^2b^4 - b^6

Далее, раскроем скобки в правой части уравнения:

(b^2 - a^2)(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (b^2 - a^2)(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)
= (b^2 - a^2)(a^4 - b^4)
= a^4b^2 - a^6 - b^4a^2 + b^6

Таким образом, левая и правая части уравнения равны друг другу:

4a^4b^2 + 4a^2b^4 - a^6 - a^4b^2 - 2a^2b^4 - b^6 = a^4b^2 - a^6 - b^4a^2 + b^6

Упростим выражение:

3a^4b^2 + 3a^2b^4 - 2a^6 - 2b^6 = 0

Полученное уравнение и есть доказательство исходного тождества.