По условию задачи у нас дано, что tg(A) - ctg(A) = -3.

Мы знаем, что tg(A) = sin(A) / cos(A) и ctg(A) = cos(A) / sin(A).

Таким образом, мы можем переписать уравнение tg(A) - ctg(A) = -3 в виде (sin(A) / cos(A)) - (cos(A) / sin(A)) = -3.

Умножим обе части уравнения на sin(A) * cos(A):

sin^2(A) - cos^2(A) = -3 sin(A) cos(A).

Используя тригонометрическое тождество sin^2(A) + cos^2(A) = 1, мы можем переписать уравнение как 1 - cos(2A) = -3/2.

Теперь мы можем найти значение tg^2(A) + ctg^2(A):

tg^2(A) + ctg^2(A) = (sin^2(A) / cos^2(A)) + (cos^2(A) / sin^2(A)) = (1 - cos^2(A)) / cos^2(A) + (1 - sin^2(A)) / sin^2(A) = (sin^2(A) + cos^2(A) - cos^2(A)) / cos^2(A) + (sin^2(A) + cos^2(A) - sin^2(A)) / sin^2(A) = 1 / cos^2(A) + c = 1 / sin^2(A) + c = ctg^2(A) + c = 1/ctg^2(A) + c = 1/(ctga)^2 - 3 = 1 / 9 - 3 = -26/9.

Итак, tg^2(A) + ctg^2(A) = -26/9.