Исследование функции с помощью производной . f(x)=x^3-9x^2+15x+3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции f(x) сначала найдем ее производную:

f'(x) = 3x^2 - 18x + 15

Теперь найдем точки экстремума функции, приравняв производную к нулю и найдя корни уравнения:

3x^2 - 18x + 15 = 0

Делем обе стороны на 3:

x^2 - 6x + 5 = 0

Факторизуем это уравнение:

(x-1)(x-5) = 0

Отсюда находим две точки экстремума: x1 = 1 и x2 = 5

Теперь найдем значение функции в этих точках:

f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 15*1 + 3 = 1 - 9 + 15 + 3 = 10

f(5) = 5^3 - 9(5)^2 + 15*5 + 3 = 125 - 225 + 75 + 3 = -22

Теперь найдем вторую производную функции:

f''(x) = 6x - 18

Подставим найденные точки экстремума во вторую производную:

f''(1) = 6*1 - 18 = -12 < 0 => x=1 - точка максимума

f''(5) = 6*5 - 18 = 12 > 0 => x=5 - точка минимума

Таким образом, функция f(x) имеет максимум в точке x=1 и минимум в точке x=5.