Для исследования функции f(x) сначала найдем ее производную:
f'(x) = 3x^2 - 18x + 15
Теперь найдем точки экстремума функции, приравняв производную к нулю и найдя корни уравнения:
3x^2 - 18x + 15 = 0
Делем обе стороны на 3:
x^2 - 6x + 5 = 0
Факторизуем это уравнение:
(x-1)(x-5) = 0
Отсюда находим две точки экстремума: x1 = 1 и x2 = 5
Теперь найдем значение функции в этих точках:
f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 15*1 + 3 = 1 - 9 + 15 + 3 = 10
f(5) = 5^3 - 9(5)^2 + 15*5 + 3 = 125 - 225 + 75 + 3 = -22
Теперь найдем вторую производную функции:
f''(x) = 6x - 18
Подставим найденные точки экстремума во вторую производную:
f''(1) = 6*1 - 18 = -12 < 0 => x=1 - точка максимума
f''(5) = 6*5 - 18 = 12 > 0 => x=5 - точка минимума
Таким образом, функция f(x) имеет максимум в точке x=1 и минимум в точке x=5.
Для исследования функции f(x) сначала найдем ее производную:
f'(x) = 3x^2 - 18x + 15
Теперь найдем точки экстремума функции, приравняв производную к нулю и найдя корни уравнения:
3x^2 - 18x + 15 = 0
Делем обе стороны на 3:
x^2 - 6x + 5 = 0
Факторизуем это уравнение:
(x-1)(x-5) = 0
Отсюда находим две точки экстремума: x1 = 1 и x2 = 5
Теперь найдем значение функции в этих точках:
f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 15*1 + 3 = 1 - 9 + 15 + 3 = 10
f(5) = 5^3 - 9(5)^2 + 15*5 + 3 = 125 - 225 + 75 + 3 = -22
Теперь найдем вторую производную функции:
f''(x) = 6x - 18
Подставим найденные точки экстремума во вторую производную:
f''(1) = 6*1 - 18 = -12 < 0 => x=1 - точка максимума
f''(5) = 6*5 - 18 = 12 > 0 => x=5 - точка минимума
Таким образом, функция f(x) имеет максимум в точке x=1 и минимум в точке x=5.