Три числа являются первыми тремя членами возрастающей арифметической прогрессии и составляют в сумме 42. Если к ним прибавить соответственно 5, 18 и 47, то полученные числа будут последовательными членами некоторой геоме­трической прогрессии. Найдите сумму первых десяти чле­нов исходной арифметической прогрессии.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим первый член арифметической прогрессии как а, а разность как d.

Таким образом, имеем:
a + (a+d) + (a+2d) = 42,
a + 5 = a(1+r),
a + 18 = a(1+r)^2,
a + 47 = a(1+r)^3,

где r - знаменатель геометрической прогрессии.

Из первого уравнения получаем:
3a + 3d = 42,
a + d = 14.

Заменяем d на выражение a + 14 во втором уравнении:
a + 5 = a(1+r),
a(1 + r) = a + 5,
r = 5 / a + 1.

Заменяем r на выражение 5 / a + 1 в третьем уравнении:
a + 18 = a(1 + r)^2,
a + 18 = a(1 + 5 / a + 1)^2,
a + 18 = a(6 / a + 1)^2,
a + 18 = (6 + a)^2 / a;

a^2 + 18a = 36 + 12a + a^2,
18a - 12a = 36,
6a = 36,
a = 6.

Теперь находим d:
a + d = 14,
6 + d = 14,
d = 8.

Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии:
S = 10/2 (2a + (10-1)d) = 5 (26 + 98) = 5 (12 + 72) = 5 84 = 420.

Итак, сумма первых десяти членов исходной арифметической прогрессии равна 420.