Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12 и сумма трех первых членов прогресси равна 10,5. Найти первый член и знаменатель.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим первый член прогрессии через ( a ) и знаменатель через ( q ).

Тогда у нас есть система уравнений:

[
\begin{cases}
\frac{a}{1-q}=12 \
a+aq+aq^2=10.5
\end{cases}
]

Решим ее:

Из первого уравнения получаем, что ( a = 12(1 - q) ).

Подставим это значение ( a ) во второе уравнение:

[
12(1 - q) + 12(1 - q)q + 12(1 - q)q^2 = 10.5
]

Раскроем скобки и приведем подобные:
[
12 - 12q + 12q - 12q^2 + 12q - 12q^2 + 12q^2 - 12q^3 = 10.5
]

Упростим:
[
12 - 12q^3 = 10.5
]

[
-12q^3 = -1.5
]

[
q^3 = \frac{1.5}{12}
]

[
q = \sqrt[3]{\frac{1.5}{12}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}
]

Теперь найдем ( a ):

[
a = 12(1 - \frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6
]

Итак, первый член прогрессии равен 6, а знаменатель равен 1/2.