(1-tg^2 (45-а))/(1+tg^2 (45-a))=sin2a - доказать тождество

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем левую часть выражения:

(1-tg^2(45-a))/(1+tg^2(45-a))

Раскроем тангенс разности:

tg(45-a) = (tg45 - tg a)/(1 + tg45 * tg a)

Так как tg(45) = 1, tg(45-a) = 1 - tg a

Подставляем в начальное уравнение:

(1 - (1-tg^2a))/(1 + (1-tg^2a)) = (tg^2a)/(1+tg^2a)

Дальше можно воспользоваться формулой тангенса суммы и разности:

tg(2a) = 2tg a / (1 - tg^2a)

В нашем случае (tg^2a) = 1 - (1 - (tg^2a))

Получим:

tg^2a = 1 - (1 - tg^2a) = 1 - tg(45 - a) = tg(45 + a)

Подставим это обратно в левую часть:

(tg(45+a))/(1+tg(45+a)) = tg(2a) = 2tg a / (1-tg^2a)

Получаем левую часть уравнения равной синусу удвоенного угла (sin2a). Таким образом, тождество доказано.