Найти общее решение диф уравнения xy'-2корня из x^3y=y xy'-2корня из x^3y=y

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных.

Первым шагом проведем необходимые алгебраические преобразования:

x^3y = yxy' - 2√(x^3y)

x^3y = y(xy' - 2√(x))

Затем разделим обе стороны уравнения на y и поделим на x^3:

xy' - 2√(x) = 1/x^2

Теперь введем вспомогательную переменную u = √(x), тогда y = u^2 и y' = 2u*u'.

Подставим в уравнение:

2uu' - 2u = 1/u^2

Упростим уравнение:

u' - 1/u = 1/(2u)

Преобразуем его в линейное уравнение:

u' - 1/u = 1/(2u)

u' = 1/u + 1/(2u)

Теперь решим данное дифференциальное уравнение, используя метод интегрирования:

ln|u| = ln|u|/2 + C

u = Ce^(ln|u|/2)

Вернемся к исходным переменным:

√(x) = Ce^(ln|√(x)|/2)

x^(1/2) = Ce^(ln|x^(1/2)|/2)

x = Cx

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = C^2x