Доказать что к^4-k^2 кратно 12 при всех натуральных к

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для любого натурального числа k, мы можем представить его в виде:
k = 3n + r, где n - целое число, r - остаток от деления k на 3 (r = 0, 1 или 2).

Тогда k^2 = (3n + r)^2 = 9n^2 + 6nr + r^2 = 3(3n^2 + 2nr) + r^2 и k^4 = (3(3n^2 + 2nr) + r^2)^2 = 9(3n^2 + 2nr)^2 + 6(3n^2 + 2nr)r^2 + r^4 = 3(27n^2 + 36n^2r + 4r^2) + r^4

Таким образом, к^4 - k^2 = 3(27n^2 + 36n^2r + 4r^2) + r^4 - 3(3n^2 + 2nr) - r^2 = 3(27n^2 + 36n^2r + 4r^2 - 3n^2 - 2nr) + r^4 - r^2 = 81n^2 + 108n^2r + 12r^2 - 3n^2 - 2nr + r^4 - r^2 = 78n^2 + 108n^2r + 12r^2 - 2nr + r^4 - r^2 = 78n^2 + 12r^2 + r^4 + nr(108 - 2) - r^2

Поскольку произведение любых трех последовательных чисел кратно 6 (а в данном случае 12 = 2 * 6), то к^4 - k^2 делится на 12 для всех натуральных k.