Сумма четвертого и десятого члена арифметического члена прогрессии равна 10. найти сумму первых тринадцати ее членов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нам нужно найти формулу общего члена арифметической прогрессии, в которой сумма четвертого и десятого членов равна 10.

Пусть первый член прогрессии a, а разность d (если прогрессия убывающая d будет отрицательным).

Тогда четвертый член прогрессии будет a + 3d, а десятый член прогрессии будет a + 9d.

Условие задачи можно записать в виде уравнения: (a + 3d) + (a + 9d) = 10 или 2a + 12d = 10.

Далее, нам нужно найти сумму первых 13 членов прогрессии. Общая сумма членов арифметической прогрессии S_n вычисляется по формуле: S_n = (n/2)(2a + (n-1)d), где n - количество членов прогрессии.

Подставим известные значения: n = 13, a = a, d = d.

S_13 = (13/2)(2a + 12d) = 13(2a + 12d) = 26a + 156d.

Теперь нам нужно найти значения a и d, решив систему уравнений:

1) 2a + 12d = 10
2) a + 3d = a_3, где a_3 - третий член прогрессии

Из (2) следует: a = a_3 - 3d

Подставим в (1) и решим систему уравнений.

2(a_3 - 3d) + 12d = 10
2a_3 - 6d + 12d = 10
2a_3 + 6d = 10
a_3 + 3d = 5

Теперь можем найти a_3, используя a_3 = a + 2d:

a + 2d + 3d = 5
a + 5d = 5
a = 5 - 5d

Теперь заменим a на 5 - 5d в формуле общего члена прогрессии a_n = a + (n-1)d и найдем 13 членов прогрессии:

a_13 = 5 - 5d + 12d = 5 + 7d.

Теперь можем найти сумму первых 13 членов прогрессии:

S_13 = 13(2a + 12d) = 13[2(5 + 7d) + 12d] = 13(10 + 26d) = 130 + 338d.

Итак, сумма первых тринадцати членов арифметической прогрессии равна 130 + 338d.