Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: у= е^2x-3e^x+x+4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции на монотонность и наличие экстремумов нужно найти производную функции и решить неравенства, чтобы определить убывает или возрастает функция, и найти точки экстремума.

Найдем производную функции y:
y' = 2e^2x - 3e^x + 1

Решим уравнение y' = 0 для определения точек экстремума:
2e^2x - 3e^x + 1 = 0
Представим выражение в виде квадратного уравнения относительно e^x:
(2e^x - 1)(e^x - 1) = 0
Из этого получаем два корня: e^x = 1/2 и e^x = 1.

Подставим найденные корни обратно в исходное уравнение, чтобы найти значения y в точках экстремума:
При e^x = 1/2:
y = e^2x - 3e^x + x + 4
y = 1/4 - 3(1/2) + x + 4
y = 1/4 - 3/2 + x + 4
y = -5/4 + x + 4

При e^x = 1:
y = e^2x - 3e^x + x + 4
y = 1 - 3 + x + 4
y = x + 2

Таким образом, точки экстремума функции у = е^2x-3e^x+x+4: x = -5/4 и x = -2.

Теперь определим монотонность функции в интервалах между найденными экстремумами и за пределами:
-∞ < x < -5/4; -5/4 < x < -2; -2 < x < ∞

Для этого представим функцию y на каждом из интервалов и определим знак производной для каждого отрезка.

Составим таблицу:
-∞ < x < -5/4:
y' = 2e^2x - 3e^x + 1
y'(-) = 2e^2(-∞) - 3e^(-∞) + 1 = 20 - 30 + 1 = 1
Таким образом, функция убывает на данном интервале.

-5/4 < x < -2:
y' = 2e^2x - 3e^x + 1
y'(x) = 2e^2x - 3e^x + 1
y'(-5/4) = -3/4 < 0
y'(-2) = -3 > 0
Следовательно, функция возрастает на интервале -5/4 < x < -2.

-2 < x < ∞:
y' = 2e^2x - 3e^x + 1
y'(-2) = -2e^4 + 3e^2 + 1
y'(∞) = +∞
На данном интервале функция также возрастает.

Итак, функция y = е^2x - 3e^x + x + 4 возрастает на интервалах (-5/4, -2) и (-2, ∞), и убывает на интервале (-∞, -5/4). Точки экстремума: x = -5/4 и x = -2.