Решить, используя интегральный признак Коши (фт)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи будет использован интегральный признак Коши.

Дан ряд:
[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} ]

Будем рассматривать функцию f(x) = x^2 / 3^x. Эта функция убывает на всей числовой оси, так как её производная равна (2x3^x - x^2ln3*3^x) / 3^(x+1), а знаменатель всегда положителен.

Посчитаем интеграл от функции f(x) на полуинтервале [n, n+1]:
[ \int_{n}^{n+1} \frac{x^2}{3^x} dx ]

Проинтегрируем данную функцию:
[ \int \frac{x^2}{3^x} dx = \int \frac{x^2}{e^{xln3}} dx]
[ = \int x^2 e^{-xln3} dx = - \frac{x^2}{ln3} e^{-xln3} - \int (- \frac{2x}{ln3} e^{-xln3}) dx ]
[ = - \frac{x^2}{ln3} e^{-xln3} + \frac{2}{ln^2 3} e^{-xln3} - \int (\frac{2}{ln^2 3} e^{-xln3}) dx ]
[ = - \frac{x^2}{ln3} e^{-xln3} + \frac{2}{ln^2 3} e^{-xln3} + \frac{2}{ln^3 3} e^{-xln3} + C]

Теперь вычислим значение данного интеграла:
[ \int_{n}^{n+1} \frac{x^2}{3^x} dx = - \frac{(n+1)^2}{ln3} e^{-(n+1)ln3} + \frac{2}{ln^2 3} e^{-(n+1)ln3} + \frac{2}{ln^3 3} e^{-(n+1)ln3} ]
[ + \frac{n^2}{ln3} e^{-nln3} - \frac{2}{ln^2 3} e^{-nln3} + \frac{2}{ln^3 3} e^{-nln3} ]

Учитывая знаки слагаемых в ряду, получаем:
[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} ] сходится.

Таким образом, исходный ряд сходится согласно интегральному признаку Коши.