Задача мо геометрии В равнобедркнном треугольнике ABC, где основанием является сторона AC, из угла C проведена биссектриса с концом в точке D, а из угла A проведена биссектриса к точке F. Докозать, что прямая BO перпендикулярно стороне AC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это следующим образом:

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы ABC и ACB также равны. Пусть угол ABC = угол ACB = α.

Так как BD является биссектрисой угла C, то угол CBD = угол ACD = α/2.
Так как FD является биссектрисой угла A, то угол BFD = угол DFB = α/2.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. В нем углы BCD и BDC равны, так как треугольник равнобедренный, значит BD = CD. Также BD = FD (по построению). Значит, треугольник BFD равнобедренный, и углы BFD и BDF равны.

Но углы BDF и CDF равны, так как DC является биссектрисой угла BCD. Значит, треугольник BCD равнобедренный, и углы BCD и CBD равны.

Из равенства углов BCD и CBD следует, что треугольник BCO равнобедренный. Значит, BO = CO. Но так как угол BOC = 90 градусов (угол накрест лежащих), то треугольник BOC прямоугольный.

Таким образом, прямая BO перпендикулярна стороне AC.