Сумма 1-го и 3-го членов геометрической прогрессии равна 4, сумма 2-го и 4-го её членов равна -12. Найдите 5-й член прогрессии. подробнее.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первый член геометрической прогрессии равен (a), а знаменатель прогрессии равен (q). Тогда второй член будет равен (aq), третий член - (aq^2), четвертый член - (aq^3) и пятый член - (aq^4).

Из условия задачи получаем систему уравнений:

[a + aq^2 = 4]
[aq + aq^3 = -12]

Разделим одно уравнение на другое:

[\frac{a + aq^2}{aq + aq^3} = \frac{4}{-12}]

[ \frac{1 + q^2}{q + q^3} = -3]

[1 + q^2 = -3q - 3q^3]

[q^3 + 3q^2 + q + 1 = 0]

Подбираем числа, которые при подстановке удовлетворяют уравнению. Очевидно, что одним из корней будет -1, так как 1 + 3 - 1 + 1 = 4. Тогда поделим уравнение на ((q + 1)):

[q^2 + 3q + 1 = 0]

Дискриминант этого квадратного уравнения равен (D = 9 - 4 = 5), поэтому уравнение имеет два корня:

[q = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}]

Таким образом, получаем два возможных варианта для (q) и, соответственно, для (a). Подставим эти значения обратно в исходные уравнения и найдем 5-й член прогрессии.