Последовательность задана формулой An=n(2n+1) докажите что сумма первых n членов этой последовательности может быть вычислена по формуле Sn=(n(n+1)(4n+5))/6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение по индукции.

База индукции:
При n=1, сумма первого члена последовательности равна 1(21+1)=3, а значение формулы для суммы также равно 1(1+1)(41+5)/6=3. Таким образом, база индукции верна.

Предположение индукции:
Пусть формула верна для некоторого n = k, то есть сумма первых k членов последовательности равна k(k+1)(4k+5)/6.

Шаг индукции:
Докажем, что формула верна и для n = k+1.
Сумма первых (k+1) членов последовательности будет равна:
S(k+1) = (k+1)(2(k+1)+1) + S(k) = (k+1)(2k+2+1) + k(k+1)(4k+5)/6 = (k+1)(2k+3) + k(k+1)(4k+5)/6 =

=(2k^2 + 3k + 2k + 3) + (4k^2 + 5k) = (6k^2 + 5k + 3)/6 = (k+1)((k+1)+1)(4(k+1)+5)/6.

Таким образом, по принципу индукции, утверждение о формуле для суммы первых n членов последовательности A(n) = n(2n+1) доказано.