Докажите тождество cos(2π-x)cos^2(0,5π+x)/tg(x-π)sin(0,5π+x)=0,5sin2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать тригонометрические тождества.

Исходное тождество:
cos(2π-x)cos^2(0,5π+x)/tg(x-π)sin(0,5π+x)=0,5sin2x

Проведем преобразования:

Заменим cos(2π-x) на cos(x) по тригонометрическому тождеству cos(π+α) = -cos(α):
cos(x)cos^2(0,5π+x)/tg(x-π)sin(0,5π+x)=0,5sin2x

Разложим cos^2(0,5π+x) на sin^2(0,5π+x) по формуле sin^2(α) + cos^2(α) = 1:
cos(x)sin^2(0,5π+x)/tg(x-π)sin(0,5π+x)=0,5sin2x

Преобразуем tg(x-π) = -tg(π-x) = -tg(π-x) по тригонометрическому тождеству tg(α-π) = -tg(α):
cos(x)sin^2(0,5π+x)/-tg(π-x)sin(0,5π+x)=0,5sin2x

Заменим sin(0,5π+x) на cos(x) по тригонометрическому тождеству sin(π+α) = sin(α):
cos(x)sin^2(0,5π+x)/-tg(π-x)cos(x)=0,5sin2x

Упростим выражение, умножив обе части на -1:
-cos(x)sin^2(0,5π+x)tg(π-x)cos(x)-0,5sin2x=0

Преобразуем sin^2(0,5π+x) на (sin(0,5π+x))^2 = (cos(x))^2:
-cos(x)(cos(x))^2tg(π-x)cos(x)-0,5sin2x=0

Упростим:
-cos^3(x)tg(π-x)-0,5sin2x=0

Заменим tg(π-x) на -tg(x) по тригонометрическому тождеству tg(π-α) = -tg(α):
-cos^3(x)(-tg(x))-0,5sin2x=0

Упростим:
cos^3(x)tg(x)-0,5sin2x=0

Так как cos^3(x) = (cos(x))^3 и sin2x = 2sinxcosx:
(cos(x))^3tg(x)-sinxcosx=0

Преобразуем левую часть уравнения:
cos(x)tg(x)-sinx*cosx=0

Разложим tg(x) = sinx/cosx:
cos(x)sinx/cosx-sinx*cosx=0

Сократим cosx:
sinx-sinx=0

0 = 0

Таким образом, исходное тождество доказано.