Решить уравнение: sin(x)+cos(x)=1+sin(2x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться формулой для синуса удвоенного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Имеем уравнение: sin(x) + cos(x) = 1 + sin(2x)
sin(x) + cos(x) = 1 + 2sin(x)cos(x)

Теперь приведем уравнение к более удобному виду:
sin(x) + cos(x) = 1 + 2sin(x)cos(x)
sin(x) + cos(x) - 2sin(x)cos(x) = 1
sin(x) + cos(x) - 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь можем заметить, что данное уравнение является квадратным уравнением относительно sin(x) и cos(x). Решим его как квадратное уравнение относительно sin(x):

sin(x) - 2cos(x)sin(x) + 1 = 0

Пусть sin(x) = t, тогда уравнение примет вид:
t - 2cos(x)t + 1 = 0
t(1 - 2cos(x)) = -1
t = -1/(1 - 2cos(x))

Обратимся к тригонометрическим соотношениям для нахождения cos(x) через sin(x):
cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))

Подставляем это в выражение для t:
t = -1 / (1 - 2sqrt(1 - t^2))
t(1 - 2sqrt(1 - t^2)) = -1
t - 2tsqrt(1 - t^2) = -1
sqrt(1 - t^2) = (t + 1) / 2t

Подставляем sin(x) = t = sin(x):
sqrt(1 - sin^2(x)) = (sin(x) + 1) / 2sin(x)
cos(x) = (sin(x) + 1) / 2sin(x)

Таким образом, получаем значение sin(x) и cos(x), далее можем найти углы, которые удовлетворяют таким значениям.