Функции многих переменных 1.Найти прозводную сложной функции
z=e^(y-2x+2); x=sin t y= cost
2.Вычислить значения частных производных неявной функции (e^z)+x+2y+z=4 в точке M(1.1.0)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем производную сложной функции z(e^(y-2x+2)):
dz/dt = ∂z/∂x dx/dt + ∂z/∂y dy/dt

где
∂z/∂x = -2e^(y-2x+2)
∂z/∂y = e^(y-2x+2)
dx/dt = cos(t)
dy/dt = -sin(t)

Подставляем значения:
dz/dt = -2e^(cost-2sin(t)+2) cos(t) + e^(cost-2sin(t)+2) (-sin(t))

Дана неявная функция (e^z)+x+2y+z=4. Найдем значения частных производных в точке M(1,1,0). Для этого продифференцируем исходное уравнение по x, y и z:

d/dx(e^z) + 1 + 2(dy/dx) + dz/dx = 0
d/dy(e^z) + 2 + 2(dy/dy) + dz/dy = 0
d/dz(e^z) + dz/dz = 0

С учетом условия, что M(1,1,0), получаем:
d/dx(e^0) + 1 + 2(dy/dx) + dz/dx = 0
d/dy(e^0) + 2 + 2(dy/dy) + dz/dy = 0
d/dz(e^0) + dz/dz = 0

Учитывая, что e^0 = 1 и dy/dx = dy/dy = 0, подставим известные значения и найдем dz/dx, dz/dy, dz/dz.