Решить уравнение. С подрорбностями y'-2y/(x+1)=y^2(x+1)^4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано уравнение: y'-2y/(x+1)=y^2(x+1)^4

Для начала преобразуем данное уравнение, чтобы перевести его в уравнение вида y' = ...

y'-2y/(x+1)=y^2(x+1)^4
y' = 2y/(x+1) + y^2(x+1)^4

Теперь применим метод вариации произвольной постоянной для решения данного дифференциального уравнения.

Представим y в виде y = v(x) u(x), где v(x) помогает нам избавиться от y^2(x+1)^4, а u(x) позволяет избавиться от y'. Затем подставим y = v(x) u(x) в уравнение и решим систему уравнений для v(x) и u(x).

Получим следующее уравнение:

v'(x)u(x) + v(x)u'(x) = 2v(x)u(x)/(x+1) + (v(x)u(x))^2(x+1)^4

Разделим обе части на v(x)u(x), чтобы избавиться от y(x) в правой части уравнения:
v'(x)/v(x) + u'(x)/u(x) = 2/(x+1) + (v(x)u(x))*(x+1)^4

Заметим, что левая часть уравнения - это производная логарифма от произведения v(x)u(x), поэтому:
(ln(v(x)u(x)))' = 2/(x+1) + (v(x)u(x))(x+1)^4
ln(v(x)u(x)) = 2ln(x+1) + C + (u(x)*v(x))/(x+1)^4

где С - постоянная интегрирования.

Примем u(x)*v(x) = W, получим:
ln(W) = 2ln(x+1) + C + W/(x+1)^4

Теперь решим данное уравнение относительно W, а затем восстановим y(x) = v(x) * u(x) из W:

W = e^(2ln(x+1) + C + W/(x+1)^4)
W = C(x+1)^2e^W/(x+1)^4

Таким образом, мы решаем уравнение вариации произвольной постоянной.