В параллелограмме ABCD длина диагонали BD=2, угол С=75 град. Окружность, описанная вокруг треугольника ABD касается прямой CD. Найдите площадь параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через X точку касания окружности с прямой CD. Так как AD и BD - радиусы описанной окружности, то треугольник ABD является равнобедренным. Поэтому ∠DAB = ∠ABD = x. Тогда ∠AXB = 2x, и с учетом того, что угол вписанный, значит ∠BCA равно 180° - 2x. Следовательно:

2x + 180° - 2x = 105°,
180° = 105° + ∠x,
∠x = 75°.

Так как угол∠AXB равен 90° (AD и BD - диаметры окружности), то он делится на две равные части. Следовательно, AX = BX. Треугольник AXB прямоугольный, опирающийся на диагональ BD, поэтому AX = BX = 1. Теперь мы можем построить прямоугольный треугольник ADX:

DX^2 + AX^2 = AD^2,
DX^2 = 2^2 - 1^2 = 3,
DX = sqrt(3).

Теперь найдем площадь треугольника ABD:

S = (1/2) AD BD = (1/2) 1 2 = 1.

Так как ABD - равнобедренный треугольник, то AD перпендикулярна плоскости ABCD. Тогда площадь параллелограмма ABCD равна S = 4 * S(ABD) = 4.