Нужна помощь с математикой В треугольнике АВС, заданном координатами вершин: А (-2, -11),
В (-11, 5), С (-3, -3), найти угол между медианой АМ и высотой ВН.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения угла между медианой АМ и высотой ВН в треугольнике АВС, нам нужно сначала найти координаты точек М и Н.

Найдем координаты точки М, которая является серединой стороны АС:
x_M = (x_A + x_C) / 2 = (-2 - 3) / 2 = -5 / 2 = -2.5,
y_M = (y_A + y_C) / 2 = (-11 - 3) / 2 = -14 / 2 = -7.

Таким образом, координаты точки М равны (-2.5, -7).

Для нахождения координат точки Н, проведем уравнение прямой ВН, которая проходит через точку В и перпендикулярна стороне АС.

1) Найдем уравнение прямой АС:
y = kx + b,
k = (y_C - y_A) / (x_C - x_A) = (-3 + 11) / (-3 + 2) = 8 / -1 = -8,
b = y_A - k x_A = -11 - (-8) (-2) = -11 - 16 = -27.

Уравнение прямой АС: y = -8x - 27.

2) Так как прямая ВН перпендикулярна стороне АС, то ее угловой коэффициент будет обратным и противоположным по знаку: k' = 1 / 8.
Уравнение прямой ВН проходит через точку В(-11, 5):
y = k'x + b',
5 = (-1/8)*(-11) + b',
5 = 11/8 + b',
b' = 40/8 - 11/8 = 29/8.

Уравнение прямой ВН: y = (1/8)*x + 29/8.

3) Найдем точку пересечения прямых АС и ВН - точку Н:
-8x - 27 = (1/8)*x + 29/8,
-64x - 216 = x + 29,
-65x = 245,
x = -245 / 65,
x = -3.

Подставим значение x = -3 в уравнение прямой ВН:
y = (1/8)*(-3) + 29/8 = -3/8 + 29/8 = 26/8 = 13/4.

Таким образом, координаты точки Н равны (-3, 13/4).

Теперь найдем угол между медианой АМ и высотой ВН. Для этого вычислим сначала направляющие векторы для медианы AM и высоты VN:

AM: (-2.5 - (-2), -7 - (-11)) = (-0.5, 4),
VN: (-3 - (-11), 13/4 - 5) = (8, -3/4).

Теперь найдем скалярное произведение векторов AM и VN:
(-0.5 8) + (4 (-3/4)) = -4 + (-3) = -7.

Угол между векторами найдем по формуле косинуса:
cos(угол) = (-7) / (sqrt((-0.5)^2 + 4^2) sqrt(8^2 + (-3/4)^2)),
cos(угол) = -7 / (sqrt(0.25 + 16) sqrt(64 + 9/16)),
cos(угол) = -7 / (sqrt(16.25) sqrt(64.141),
cos(угол) = -7 / (4.030 8.005),
cos(угол) = -7 / 32.249,
угол = arccos(-7 / 32.249).

Подставляем в уравнение косинуса и находим угол между медианой АМ и высотой VN.