Найти расстояние от точки D(-4;-13:6) до плоскости, проходящей через три точки А (0;-1;-1), В (-2;3;5), С (1;-5;-9).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи используем формулу для расстояния от точки до плоскости:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - координаты вектора нормали к плоскости, D - свободный член уравнения плоскости, (x, y, z) - координаты точки.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С:

Найдем векторы AB и AC:
AB = B - A = (-2 - 0, 3 - (-1), 5 - (-1)) = (-2, 4, 6),
AC = C - A = (1 - 0, -5 - (-1), -9 - (-1)) = (1, -4, -8).

Найдем векторное произведение векторов AB и AC для нахождения нормали к плоскости:
n = AB x AC = i(4(-8) - 6(-4)) - j(-2(-8) - 6(1)) + k(-2(-4) - 4(1)) = 32i - 14j - 8k = (32, -14, -8).

Теперь найдем свободный член D плоскости, зная, что она проходит через точку A:
D = -Ax - By - Cz = -320 - (-14)(-1) - (-8)*(-1) = -14 - 8 = -22.

Теперь подставим координаты точки D и координаты нормали в формулу для расстояния от точки до плоскости:

d = |32(-4) - 14(-13) - 8*6 - 22| / √(32^2 + (-14)^2 + (-8)^2)
d = |-128 + 182 - 48 - 22| / √(1024 + 196 + 64)
d = |6| / √1284
d ≈ 6 / 35.80
d ≈ 0.167

Таким образом, расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки А, В, С, равно примерно 0.167.