Действия векторов, заданные координатами Докажите, что ABCD-квадрат, если A(-6;-6;6),B(-4;-1;-8),C(6;9;-3),D(4;4;11)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы доказать, что ABCD-квадрат, нам нужно показать, что все стороны квадрата равны по длине и все углы прямые.

Для начала найдем длины всех сторон квадрата:

AB = sqrt((-4 - (-6))^2 + (-1 - (-6))^2 + (-8 - 6)^2) = sqrt(2^2 + 5^2 + 14^2) = sqrt(4 + 25 + 196) = sqrt(225) = 15

BC = sqrt((6 - (-4))^2 + (9 - (-1))^2 + (-3 - (-8))^2) = sqrt(10^2 + 10^2 + 5^2) = sqrt(100 + 100 + 25) = sqrt(225) = 15

CD = sqrt((4 - 6)^2 + (4 - 9)^2 + (11 - (-3))^2) = sqrt((-2)^2 + (-5)^2 + (14)^2) = sqrt(4 + 25 + 196) = sqrt(225) = 15

DA = sqrt((-6 - 4)^2 + (-6 - 4)^2 + (6 - 11)^2) = sqrt((-10)^2 + (-10)^2 + (-5)^2) = sqrt(100 + 100 + 25) = sqrt(225) = 15

Таким образом, все стороны квадрата равны по длине.

Теперь проверим, что углы квадрата равны 90 градусов.

Найдем векторы AB, BC, CD, DA:

AB = <-4 - (-6), -1 - (-6), -8 - 6> = <2, 5, -14>

BC = <6 - (-4), 9 - (-1), -3 - (-8)> = <10, 10, 5>

CD = <4 - 6, 4 - 9, 11 - (-3)> = <-2, -5, 14>

DA = <-6 - 4, -6 - 4, 6 - 11> = <-10, -10, -5>

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

AB BC = 210 + 510 + (-14)5 = 20 + 50 - 70 = 0

BC CD = 10(-2) + 10(-5) + 514 = -20 - 50 + 70 = 0

CD DA = (-2)(-10) + (-5)(-10) + 14(-5) = 20 + 50 - 70 = 0

DA AB = (-10)2 + (-10)5 + (-5)(-14) = -20 - 50 + 70 = 0

Поскольку скалярное произведение векторов ABBC, BCCD, CDDA, DAAB равны 0, значит, углы между векторами равны 90 градусов.

Таким образом, квадрат ABCD является квадратом.