Действия над векторами, заданными координатами Даны векторы a{2;-3;-4;} ,b{-2;2;-5}
а) Будут ли коллинеарными векторы c=2a-4b и d=a-2b ?
б) Вычислите |2c-3d|
в) Найдите угол между векторами a и b

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для определения коллинеарности векторов необходимо убедиться, что они кратны друг другу.

c = 2a - 4b = 2 {2;-3;-4;} - 4 {-2;2;-5;} = {4;-6;-8;} - {-8;8;20;} = {4;-6;-8;} + {8;-8;-20;} = {12;-14;-28;}

d = a - 2b = {2;-3;-4;} - 2 * {-2;2;-5;} = {2;-3;-4;} - {-4;4;-10;} = {2;-3;-4;} + {4;-4;10;} = {6;-7;6;}

Теперь посмотрим, кратны ли они друг другу:

12/6 = 2, -14/-7 = 2, -28/6 ≠ -4

Поскольку координаты векторов c и d не соотносятся как постоянный множитель, то векторы c и d не коллинеарны.

б) |2c - 3d| = |2{12;-14;-28;} - 3{6;-7;6;}| = |{24;-28;-56;} - {18;-21;18;}| = |{24-18;-28+21;-56-18;}| = |{6;-7;-74;}|

|2c - 3d| = √(6^2 + (-7)^2 + (-74)^2) = √(36 + 49 + 5476) = √5561 ≈ 74.59

в) Для нахождения угла между векторами a и b воспользуемся формулой для скалярного произведения векторов:

a b = |a| |b| * cos(θ)

где |a| и |b| - длины векторов a и b, θ - угол между векторами.

|a| = √(2^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √(4 + 9 + 16) = √29
|b| = √((-2)^2 + 2^2 + (-5)^2) = √(4 + 4 + 25) = √33

a b = 2(-2) + (-3)2 + (-4)(-5) = -4 - 6 + 20 = 10

Теперь найдем угол θ:

10 = √29 √33 cos(θ)
cos(θ) = 10 / (√29 √33)
θ = arccos(10 / (√29 √33))

θ ≈ arccos(10 / (√29 * √33)) ≈ arccos(10 / (√957)) ≈ arccos(10 / 30.946) ≈ arccos(0.323)

Используя тригонометрические таблицы или калькулятор, мы можем найти значение угла θ.