Планиметрия, олимпиадная задачка В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на сторонах AB, BC и AC взяты точки X, Y и Z соответственно так, что AX:XB=BY:YC=CZ:ZA. Определите, может ли треугольник XYZ быть равносторонним или равнобедренным, и укажите условия, при которых это возможно.
Планиметрия, олимпиадная задачка В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на сторонах AB, BC и AC взяты точки X, Y и Z соответственно так, что AX:XB=BY:YC=CZ:ZA. Определите, может ли треугольник XYZ быть равносторонним или равнобедренным, и укажите условия, при которых это возможно.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
Пусть AX = a, BX = b, CY = c, CZ = d. Так как по условию AX:XB=BY:YC=CZ:ZA, то имеем:
a:b = b:c = d:a.
Таким образом, получаем систему уравнений:
b = a^2/b
c = b^2/c
d = c^2/d
a = d^2/a.
Умножим все уравнения между собой:
abcd = a^2b^2c^2d^2.
Сократим обе стороны на abcd:
1 = abcd.
Таким образом, получаем, что треугольник XYZ равносторонний тогда и только тогда, когда треугольник ABC также равносторонний.
Для случая равнобедренного треугольника ABC, треугольник XYZ может быть равносторонним тогда, когда треугольник ABC равносторонний или равнобедренный со сторонами, отношение которых равно золотому сечению: AB:AC = AC:BC = (1 + √5) / 2.