Сторона выпуклого четырёхугольника в два раза больше противоположной стороны этого четырёхугольника. Каждая из диагоналей четырёхугольника перпендикулярна одной из двух других его сторон. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны четырёхугольника равны a, b, 2a и 2b (где a > b).

Так как диагонали перпендикулярны сторонам, рассмотрим треугольник, образованный одной из диагоналей, стороной четырёхугольника и половиной другой диагонали. В этом треугольнике угол между диагональю и стороной равен 90 градусов.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника с катетами a и 2b по одну сторону и гипотенузой неизвестной длины (половина диагонали).

По теореме Пифагора, длина половины диагонали будет равна √(a² + 4b²).

Теперь рассмотрим вторую диагональ. Для нее мы также можем составить прямоугольный треугольник с катетами 2a и b и гипотенузой равной √(4a² + b²).

Угол между диагоналями найдем, используя косинус угла между этими диагоналями:

cos(угол) = (a² + 4b² + 4a² + b²) / (2√(a² + 4b²) * 2√(4a² + b²))
cos(угол) = (5a² + 5b²) / (4√((a² + 4b²)(4a² + b²)))
cos(угол) = 5 / 4

Следовательно, угол между диагоналями четырёхугольника равен arccos(5/4) или примерно 37 градусов.