Найти частные производные функции по независимым аргументам. z^2=u^2+v^2; u=x+y; v=x^2-y^2. z^2=u^2+v^2;
u=x+y;
v=x^2-y^2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти частные производные функции z^2 по независимым аргументам x и y, сначала выразим z, u и v через x и y:

z = sqrt(u^2 + v^2)

u = x + y

v = x^2 - y^2

Теперь найдем частные производные:

∂z^2/∂x = 2z (∂z/∂x) = 2z (∂z/∂u) (∂u/∂x) + 2z (∂z/∂v) * (∂v/∂x)

∂z/∂u = (1/2) (u^2 + v^2)^(-1/2) 2u = u / z

∂z/∂v = (1/2) (u^2 + v^2)^(-1/2) 2v = v / z

∂u/∂x = 1

∂v/∂x = 2x

Теперь подставим все значения:

∂z^2/∂x = 2z (u / z) 1 + 2z (v / z) 2x = 2u + 4xz

Аналогично для ∂z^2/∂y получаем:

∂z^2/∂y = 2z (∂z/∂x) = 2z (∂z/∂u) (∂u/∂y) + 2z (∂z/∂v) * (∂v/∂y) = 2u - 2y + 4xy