Вычислить массу однородной пластины единичной поверхностной плотности ограниченной указанными линиями двумя способами, и Вычислить массу однородной пластины единичной поверхностной плотности ограниченной указанными линиями двумя способами, изменяя порядок интегрирования в двукратных интегралах. Сравнить результаты.
y = 0, y = –1, y = -1/4x+1, x= –8 y3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первый способ:
Масса пластины равна интегралу от функции плотности по площади пластины. Площадь пластины можно выразить через двойной интеграл:

Масса = ∬ dS = ∬ dy dx

Границы интегрирования:
-8 ≤ x ≤ 0
-1 ≤ y ≤ 0

Плотность равна 1, поэтому:
Масса = ∫ from -8 to 0 ∫ from -1/4x+1 to 0 dy dx

∫ from -8 to 0 (1/4x+1) dx = ∫ from -8 to 0 (1 - (1/4)x) dx = (x - (1/8)x^2) from -8 to 0 = 4

Второй способ:
Масса = ∬ dS = ∬ dx dy

Границы интегрирования:
-1 ≤ y ≤ 0
-8 ≤ x ≤ -4(y-1)

Плотность равна 1, поэтому:
Масса = ∫ from -1 to 0 ∫ from -8 to -4(y-1) dx dy

∫ from -1 to 0 (-4(y-1) + 8) dy = ∫ from -1 to 0 (8 - 4y) dy = 4

Таким образом, оба способа дали одинаковый результат.