Решите систему уравнение компелксные числа
abs(z-2i)=abs(z)
abs(z-i)=abs(z-1)
abs-это модуль

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной системы уравнений преобразуем модули комплексных чисел.

1) abs(z-2i) = abs(z)
Пусть z = x + yi, тогда abs(z-2i) = abs(x + yi - 2i) = abs(x + (y-2)i) = sqrt(x^2 + (y-2)^2)
Также abs(z) = abs(x + yi) = sqrt(x^2 + y^2)

Уравнение примет вид: sqrt(x^2 + (y-2)^2) = sqrt(x^2 + y^2)

2) abs(z-i) = abs(z-1)
Пусть z = x + yi, тогда abs(z-i) = abs(x + yi - i) = abs(x + (y-1)i) = sqrt(x^2 + (y-1)^2)
Также abs(z-1) = abs(x + yi - 1) = abs(x-1 + yi) = sqrt((x-1)^2 + y^2)

Уравнение примет вид: sqrt(x^2 + (y-1)^2) = sqrt((x-1)^2 + y^2)

Теперь решим получившиеся уравнения:

1) x^2 + (y-2)^2 = x^2 + y^2
(y-2)^2 = y^2
y^2 - 4y + 4 = y^2
-4y + 4 = 0
y = 1

2) x^2 + (y-1)^2 = (x-1)^2 + y^2
x^2 + 1 - 2y + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2
1 - 2y = -2x
2x + 2y = -1
x + y = -1/2

Таким образом, решение системы уравнений для комплексных чисел z будет z = -1/2 + i.