Логарифмические неравенства . Как решать логарифмические неравенства ?
log2/2 x-4 log2 x+3=0, log^2 /4 x- log4 x-2=0, log ^2 1/2 x+3 log1/2 x+2=0, log^2 0,2 x+ log 0,2 x-6=0 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения логарифмических неравенств необходимо применить свойства логарифмов. Все логарифмы, которые встречаются в неравенствах, можно заменить на переменные и решить полученное уравнение.

log2/2 x - 4 log2 x + 3 = 0
Перепишем логарифмы с помощью свойства логарифмов: log2(x^(1/2)) - log2(x^4) + 3 = 0
Раскрываем логарифмы и приводим подобные слагаемые: 1/2 log2(x) - 4 log2(x) + 3 = 0
Упрощаем выражение: -7/2 log2(x) + 3 = 0
-7/2 log2(x) = -3
log2(x) = 6/7
x = 2^(6/7)

log^2 /4 x - log4 x - 2 = 0
Перепишем логарифмы с помощью свойства логарифмов: (log4(x))^2 - log4(x) - 2 = 0
Обозначим log4(x) за y, получим: y^2 - y - 2 = 0
Факторизуем квадратное уравнение: (y - 2)(y + 1) = 0
y = 2 или y = -1
Теперь подставляем y = log4(x): log4(x) = 2 или log4(x) = -1
x = 4^2 или x = 4^(-1)
x = 16 или x = 1/4

log ^2 1/2 x + 3 log1/2 x + 2 = 0
Сначала заменим логарифмы на переменные: (log(1/2, x))^2 + 3 * log(1/2, x) + 2 = 0
Обозначим log(1/2, x) за y, получим: y^2 + 3y + 2 = 0
Факторизуем уравнение: (y + 1)(y + 2) = 0
y = -1 или y = -2
Теперь подставляем y = log(1/2, x): log(1/2, x) = -1 или log(1/2, x) = -2
x = (1/2)^(-1) или x = (1/2)^(-2)
x = 2 или x = 4

log^2 0,2 x + log 0,2 x - 6 = 0
Сначала заменим логарифмы на переменные: (log(0,2, x))^2 + log(0,2, x) - 6 = 0
Обозначим log(0,2, x) за y, получим: y^2 + y - 6 = 0
Факторизуем уравнение: (y + 3)(y - 2) = 0
y = -3 или y = 2
Теперь подставляем y = log(0,2, x): log(0,2, x) = -3 или log(0,2, x) = 2
x = 0,2^(-3) или x = 0,2^2
x = 125 или x = 0,04

Таким образом, мы решили все логарифмические неравенства.