Для начала найдем производные X и Y:
X' = (1/t) - (1/sqrt(1-t^2)) (производная от ln(t) = 1/t, производная от arcsin(t) = 1/sqrt(1 - t^2))
Y' = 1 - (t/((1-t^2)^(1/2))) (производная от t = 1, производная от (1-(t)^2)^(1/2) = -t/((1-t^2)^(3/2)))
Теперь найдем Y'/X':
(Y'/X') = (1 - (t/((1-t^2)^(1/2)))) / ((1/t) - (1/(1-s*t^2)^(1/2)))
(1 - (t/((1-t^2)^(1/2)))) / ((1/t) - (1/(1-t^2)^(1/2))) = (1 - t/sqrt(1-t^2)) / (1/t - 1/sqrt(1-t^2))= ((1 - t/sqrt(1-t^2)) t)/ (t - sqrt(1-t^2))= (t - t^2/sqrt(1-t^2))/(t - sqrt(1-t^2))= t (1 - t/sqrt(1-t^2)))/(t - sqrt(1-t^2))= t * (sqrt(1-t^2) - t)/(t - sqrt(1-t^2))
Поэтому, Y'/X' = t * (sqrt(1-t^2) - t)/(t - sqrt(1-t^2))
Для начала найдем производные X и Y:
X' = (1/t) - (1/sqrt(1-t^2)) (производная от ln(t) = 1/t, производная от arcsin(t) = 1/sqrt(1 - t^2))
Y' = 1 - (t/((1-t^2)^(1/2))) (производная от t = 1, производная от (1-(t)^2)^(1/2) = -t/((1-t^2)^(3/2)))
Теперь найдем Y'/X':
(Y'/X') = (1 - (t/((1-t^2)^(1/2)))) / ((1/t) - (1/(1-s*t^2)^(1/2)))
(1 - (t/((1-t^2)^(1/2)))) / ((1/t) - (1/(1-t^2)^(1/2))) = (1 - t/sqrt(1-t^2)) / (1/t - 1/sqrt(1-t^2))
= ((1 - t/sqrt(1-t^2)) t)/ (t - sqrt(1-t^2))
= (t - t^2/sqrt(1-t^2))/(t - sqrt(1-t^2))
= t (1 - t/sqrt(1-t^2)))/(t - sqrt(1-t^2))
= t * (sqrt(1-t^2) - t)/(t - sqrt(1-t^2))
Поэтому, Y'/X' = t * (sqrt(1-t^2) - t)/(t - sqrt(1-t^2))