Исследование функции y=x^3+2 исследование функции y=x^3+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции ( y = x^3 + 2 ) проведем следующие шаги:

Найдем область определения функции. Функция ( y = x^3 + 2 ) определена для всех значений переменной ( x ), то есть ее область определения ( D = \mathbb{R} ).

Найдем область значений функции. Область значений функции будет зависеть от области определения. Поскольку функция ( y = x^3 + 2 ) является многочленом, то ее область значений будет все множество действительных чисел ( \mathbb{R} ).

Найдем точки пересечения функции с осями координат. Для этого решим уравнения ( y = 0 ), ( x = 0 ). Подставив ( y = 0 ) в уравнение ( y = x^3 + 2 ), получаем:
[ 0 = x^3 + 2 ]
[ x^3 = -2 ]
[ x = -\sqrt[3]{2} ]
Таким образом, функция пересекает ось ( x ) в точке ( (-\sqrt[3]{2}, 0) ).

Найдем экстремумы функции. Для этого найдем производную функции ( y' = 3x^2 ). Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:
[ 3x^2 = 0 ]
[ x = 0 ]
Таким образом, у функции ( y = x^3 + 2 ) имеется точка экстремума в точке ( (0, 2) ).

Исследуем поведение функции при ( x\to +\infty ) и ( x\to -\infty ). При ( x\to +\infty ) функция стремится к плюс бесконечности, так как член с ( x^3 ) будет доминировать. При ( x\to -\infty ) функция также стремится к минус бесконечности.

Нарисуем график функции ( y = x^3 + 2 ), чтобы визуально оценить ее поведение.

Таким образом, функция ( y = x^3 + 2 ) имеет область определения ( D = \mathbb{R} ), область значений ( \mathbb{R} ), пересекает ось координат в точке ( (-\sqrt[3]{2}, 0) ), имеет точку экстремума в точке ( (0, 2) ) и стремится к плюс и минус бесконечности при ( x\to \pm\infty ).