Пусть p — нечѐтное простое число. Докажите, что для некоторой пары различных натуральных чисел m и n имеет место равенство 2/p = 1/n + 1/m, причем такая пара чисел единственна (с точностью до перестановки n и m).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку p — нечётное простое число, то 2 — взаимно простое с p. Таким образом, нам нужно выразить 1/n + 1/m в виде дроби с общим знаменателем p.

Рассмотрим уравнение 1/n + 1/m = 2/p. Умножим обе части на nmр:

m + n = 2nm/p.

Так как p не делит ни m, ни n, то p делит m + n. Поскольку m и n различные натуральные числа, то m + n < 2p. Следовательно, m + n = p.

Таким образом, имеем систему уравнений:

m + n = p,
1/n + 1/m = 2/p.

Решая данную систему уравнений, получаем, что m = n = p/2. Следовательно, такая пара чисел единственна (с точностью до перестановки n и m).